f(2007)=2008 ve her x,y reel sayısı için,

f(4xy)=2y(f(x+y)+f(x-y))

koşulunu sağlayan tüm reel fonksiyonları bulunuz.

Bilkent üniversitesi sitesinden sorunun orijinaline ve cevabına ve arşivine ulaşmak için tıklayın...

1. Köşeleri bir çember üzerinde ve iki köşegeni dik olan bir yedigenin alabileceği en büyük alanı bulunuz.

2. 2xn lik bir dikdörtgeni, n pozitif tamsayı olmak üzere, kenarları tamsayı olan dikdörtgenlere ayırmanın kaç yolu vardır?

3. x, y, z pozitif sayılar ve xy+yz+xz=1 olmak üzere,
(27/4)*(x+y)*(y+z)*(x+z)>=(sqrt(x+y)+sqrt(y+z)+sqrt(z+x))^2>=6*sqrt(2) olduğunu gösteriniz.

Gün 2:

1.  Tüm n>=1 tamsayıları için, x₁ pozitif tamsayı olmak üzere,
x_n+1 = x₁² + x₂²+ ... + x_n²  olarak tanımlıdır. 2006 sayısının x₂₀₀₆  yı böldüğü en küçük x₁ i bulunuz.

2. AB çaplı bir çemberin bir Q noktasından, AB doğrusuna QH dikmesi çiziliyor (H, AB üzerinde). AB çaplı çemberle, QH yarıçaplı ve Q merkezli çemberin kesişim noktaları C ve D dir. [CD] doğru parçasının [QH] doğru parçasını ortaladığını ispatlayınız.

3. 2006 öğrencinin her biri, 2006 okul arasından 12 okul bulunan listeler hazırlıyorlar. Herhangi 6 öğrenci alınsa, öyle iki okul bulunuyor ki, en az biri her 6 listede de yer alıyor. Bütün listelerde bulunan okullardan en az birini içeren bir listeye "iyi liste" denir. Aşağıdakileri ispatlayınız:
a. Listeler ne olursa olsun, 12 elemanlı bir iyi liste her zaman bulunabilir.
b. Öğrenciler daha az elemanlı (yukarıdakinden) listeler yapamazlar.

1. ABCD bir kare ve G onun çevrel çemberi olsun. E, G çemberine ait, A noktasını içermeyen CD yayı üzerinde bir nokta olsun. P ve R noktaları sırasıyla AE doğrusunun [BD] ve [CD] kesim noktaları, Q ve S noktaları da sırasıyla BE doğrusunun [AC] ve [DC] kesim noktaları olsun. PS ve QR doğrularının dik olduklarını ispatlayınız.

2. a,b,c sayıları a.b.c=1 olacak şekilde üç pozitif sayı olsun.
a/[(a+1)(b+1)] + b/[(b+1)(c+1)] + c/[(c+1)(a+1)] >= 3/3 olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumunun ne zaman olacağını bulunuz.

3. Her n pozitif tamsayısı için,  aⁿ+n ifadesinin bir çarpanının bⁿ+n olduğu a ve b pozitif tamsayılar olsun. a= b olacağını ispatlayınız.

Gün 2:

1. 2xn lik pozitif reel sayı matrisinde, her n. kolonun toplamı 1 dir. Her bir kolondan, her bir satırdaki toplamı en fazla (n+1)/4 olan sayılar seçebileceğimizi gösteriniz.

2. AC+BC=3.AB olan bir ABC üçgeninde, içteğet çemberin merkezi I ve BC ile CA kenarlarına sırasıyla D ve E noktalarında teğettir. K ve L, I noktasına göre D ve E noktalarının yansımaları olsun. A, B, K, L noktalarının bir çember üzerinde bulunduğunu ispatlayınız.

3. M={1,2,...,3n}. M kümesinin s(A) = s(B) = s(C) = n olacak şekilde üç kümeye ayıralım. a = b + c veya b = a + c veya c = b + a olacak şekilde, sırasıyla A, B ve C kümelerinde bulunan üç a, b ve c elemanları bulunduğunu gösteriniz.